Математические задачи на приемных экзаменах в МФТИ в 1956. Москва. МФТИ 1957 год.

Математические задачи на приемных экзаменах в МФТИ в 1956. Москва. МФТИ 1957 год.

Билет № 2. 

Задача № 3.

Через середины двух паралельных ребер куба, не лежащих на одной грани. проведена прямая. Куб повернут вокруг нее на 90 градусов. определить объем общей части исходного куба и повернутого. 

1. Для решения этой задачи давайте разберемся в геометрии происходящего. Исходный куб имеет 12 ребер, и через середины двух параллельных ребер (6 ребер) проводится прямая. После поворота куба на 90 градусов, каждое из этих 6 ребер будет находиться в плоскости, перпендикулярной начальной плоскости куба.

Далее, образовавшаяся фигура будет иметь форму прямоугольника. Она будет состоять из двух квадратов, которые были серединными плоскостями начальных ребер, и четырех прямоугольников, которые были боковыми гранями куба.

Теперь рассмотрим объем исходного куба и повернутого.

Объем исходного куба (V_1) = a^3, где 'a' - длина его ребра.

Объем повернутого куба (V_2) = 2 * A^2 * B, где 'A' и 'B' - длины сторон прямоугольника.

Так как каждая сторона прямоугольника будет равна длине ребра куба, и площадь прямоугольника (A * B) равна площади одной из боковых граней куба (a^2), то V_2 = 2 * a^2 * a^2 = 2a^4.

Теперь объединим объемы исходного куба и повернутого куба, чтобы найти объем общей части:

V_total = V_1 + V_2 V_total = a^3 + 2a^4 V_total = a^3 * (1 + 2a)

Таким образом, объем общей части исходного куба и повернутого равен a^3 * (1 + 2a).

2. 

Давай попробуем! Изначально, представим, что у нас есть куб, и через середины двух его параллельных рёбер проведена прямая. После поворота куба на 90 градусов вокруг этой прямой образуется что-то вроде усеченного куба. Объем этой фигуры можно найти, если мы вычислим объем исходного куба и объем части, которая была удалена при повороте.

Объем куба вычисляется по формуле $�={�}^3$, где $�$ - длина стороны куба.

После поворота на 90 градусов мы получим усеченный куб. Его объем можно выразить как разность объема изначального куба и объема части, которая была удалена.

Давай рассмотрим, что происходит при повороте на 90 градусов. Часть куба, которая будет исключена, образует пирамиду, и её объем можно найти как треть объема прямоугольного параллелепипеда, основанием которого служит треугольник со стороной $�$ (сторона куба), а высотой - $�\mathrm{/}2$ (половина стороны куба).

Таким образом, объем усеченного куба после поворота будет равен ${�}_{\text{усеч. куба}}={�}_{\text{исходного куба}}-{�}_{\text{исключенной части}}$:

${�}_{\text{усеч. куба}}={�}^3-\frac{1}{3}\cdot �\cdot �\cdot \frac{�}{2}$

${�}_{\text{усеч. куба}}={�}^3-\frac{{�}^3}{6}$

${�}_{\text{усеч. куба}}=\frac{5}{6}\cdot {�}^3$

Таким образом, объем общей части исходного куба и повёрнутого составит $\frac{5}{6}$ от объема исходного куба.