Занятие 20.

Занятие 20.

Занятие 20. # pdf25 января 2021 г.

https://www.shashkovs.ru/vmsh-a/

«Тест»-задачи

Задача 20п.1. На рисунке в 1-й фигуре — 2 квадратика, во 2-й — 8, в 3-й — 18. Если составлять фигуры дальше, сколько квадратиков будет в 10-й фигуре?

Задача 20п.2. Придумайте восьмизначное число без нулей, которое делится на 179.

Задача 20п.3. Введите подряд 10 цифр так, чтобы первая цифра равнялась 9, предпоследняя — 5, и чтобы сумма любых трёх подряд идущих цифр равнялась 14.

Задача 20п.4. Петя задумал два положительных числа x и y, причём x < y, после чего записал на доске три числа. Первое: x + 3y, второе: 3x + y, третье: 2x + 2y. Расставьте числа в порядке возрастания. (Введите номера чисел, например: 1,2,3.)

Задача 20п.5. На нумерацию страниц книги ушло 1392 цифры. Сколько было страниц?

Задача 20п.6. Бес предложил лентяю: «Каждый раз, как ты перейдёшь этот мост, твои деньги удвоятся. Но за это, перейдя мост, ты отдашь мне 40 рублей». Трижды перешёл лентяй мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лентяя в начале?

«Письменные» задачи

Задача 20п.7. Поставьте 5 фишек на клетчатую доску размером 8 × 8 так, чтобы любой квадрат 3 × 3 со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал ровно одну фишку.

Задача 20п.8. На листе нарисовали три жирных замкнутых линии и три тонких замкнутых линии. Линии не пересекают ни сами себя, ни друг друга. Затем на линии положили листок бумаги, как показано справа, и при этом одну линию накрыли целиком, а остальные линии частично видны. Приведите пример возможного исходного рисунка.

Задача 20п.9. Придумайте положительные числа, сумма которых не меньше 10, но сумма их квадратов не больше 1. (Чисел можно брать любое количество, можно брать и одинаковые числа.)

«Устные» задачи

Задача 20п.10. Среди 179 монет все одинаковые и настоящие, кроме одной, фальшивой. По виду фальшивая монета не отличается, но её вес другой. Есть чашечные весы, показывающие, равны ли веса на чашах, а если нет, то какая из двух чаш перевесила. За два взвешивания определите, чей вес больше — фальшивой монеты или настоящей.

Задача 20п.11. Лежат 3 мешка для муки. В 1-м, 2-м и 3-м мешках не менее 60 кг муки; но при этом в 1-м и 2-м — не более 50 кг муки; в 1-м и 3-м — не более 40 кг муки; во 2-м и 3-м — не более 30 кг муки. Сколько муки в каждом мешке?

Задача 20п.12. Корабль плывёт с постоянной скоростью относительно реки. По течению он преодолевает расстояние от пристани «Приток» до пристани «Устье» за 48 часов, а на обратный путь против течения тратит 72 часа. За какое время от «Притока» до «Устья» доберётся бревно, плывущее со скоростью течения?

Призовые задачи

Задача 20п.13. В таблицу записали числа от 1 до 16 (см. рисунок справа). Перед каждым из них поставили знак « + » или «-» так, что в каждой строке и в каждом столбце оказалось по два плюса и по два минуса. Докажите, что сумма полученных чисел равна 0.

Задача 20п.14. От шоссе отходят несколько дорог к селам (см. рисунок). Где на шоссе нужно расположить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от нее до сёл (по дорогам и шоссе) была наименьшей?

Занятие 19. # pdf18 января 2021 г.

«Тест»-задачи

Задача 19п.1. На рисунке 4 фигуры, в 1-й фигуре — 3 квадратика. Если составлять фигуры дальше, сколько квадратиков будет в 10-й фигуре?

Задача 19п.2. В магазине на каждой из книжных полок находится 10 книг. Все книги разные. Петя хочет купить две книги, но так, чтобы они были с разных полок. Сколько у него есть вариантов покупки, если всего полок
а) 3;
б) 4?

Задача 19п.3. Замените звёздочки натуральными числами так, чтобы получилось верное равенство: 9*-*21=1742. (Введите через запятую первое число и второе.)

Задача 19п.4. На рисунке справа вы видите фигурку из двух кубиков и 8 развёрток. Из каких трёх развёрток, согнув их по пунктирным линиям, можно сложить эту фигурку? (Укажите номера развёрток в порядке возрастания через запятую.)

Задача 19п.5. В двух мешках лежит по 50 кг риса. Сначала из 1-го мешка пересыпают половину риса во 2-й мешок, потом из 2-го пересыпают треть риса в 1-й, затем из 1-го — четверть риса во 2-й и т. д. Сколько кг риса будет в 1-м мешке
а) после 20 пересыпаний;
б) после 49-го пересыпания?

Задача 19п.6. В таблицу 5 × 5 впишите числа 1, 2, 3, 4 и 5, каждое — 5 раз, так чтобы сумма чисел в любом квадрате 2 × 2 была одной и той же. (Введите подряд 25 чисел через пробел: сначала числа первой строки (слева направо), потом — числа второй строки (слева направо), ..., и так до 5-й строки включительно.)

«Письменные» задачи

Задача 19п.7. Сложите 10 фигур из ровно 36 спичек так, чтобы каждая фигура была треугольником, квадратом или домиком, как на рисунке, и все виды фигур присутствовали.

Задача 19п.8.
а) Нарисуйте на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см квадрат, равный по площади половине клетки.
б) Объясните (рисунком или словами), как оклеить поверхность кубика с ребром 1 см 12-ю такими квадратами?

Задача 19п.9. Отметьте на листе бумаги 6 точек и соедините каждую с каждой отрезком так, чтобы полученные отрезки пересекались всего в трёх новых точках, и в каждой новой точке пересекались ровно два отрезка.

«Устные» задачи

Задача 19п.10. Играют двое: по очереди ставят фишки, среди которых 2 белые, 2 синие, 2 красные и 2 жёлтые, в кружочки фигуры (см. рисунок справа). Как второму игроку добиться того, чтобы любые 4 подряд стоящие фишки были разного цвета?

Задача 19п.11. Петя, Вася и Тима участвовали в одних и тех же олимпиадах. В большинстве олимпиад Петя опередил Васю, Вася в большинстве олимпиад опередил Тиму, а Тима в большинстве олимпиад опередил Петю. Могло ли такое быть?

Задача 19п.12.
а) В селе A живут 100 детей, а в селе B — 200. Где надо построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых детьми от сёл к школе (напрямую), была наименьшей?
б) А если есть ещё третье село C, где живут 300 детей, причём сёла расположены на прямой в порядке A,B,C?

Задача 19п.13. На прямой реке есть две пристани: «Приток» и «Устье». Корабль, двигаясь с постоянной скоростью относительно реки, проплыл от «Притока» до «Устья» и обратно всего за 120 часов. Больше или меньше 120 часов потратит корабль, если проплывёт с той же скоростью удвоенное расстояние между «Притоком» и «Устьем», двигаясь по озеру?

Призовые задачи

Задача 19п.14. Игровое поле имеет вид квадрата 10 × 10 клеток. Одна клетка — приз, остальные — пустышки; но выглядят они одинаково. Нажав на клетку, вы узнаете, за какое наименьшее число переходов можно было бы добраться из неё до приза (переход — это сдвиг из текущей клетки в соседнюю по стороне). После какого наименьшего числа нажатий на клетки можно гарантированно узнать, где приз?

Задача 19п.15.
а) Все стороны прямоугольника меньше 1. Петя измерил одну из сторон, а Вася — площадь прямоугольника. У кого получилось большее число?
б) Квадрат со стороной 1 разрезан на прямоугольники. В каждом прямоугольнике выбрали одну из сторон. Докажите, что сумма длин всех выбранных сторон не меньше 1.

Занятие 18. # pdf11 января 2021 г.

«Тест»-задачи

Задача 18п.1. На рисунке в 1-й фигуре — 5 квадратиков, во 2-й — 8, в 3-й — 13. Если составлять фигуры дальше, сколько квадратиков будет в 10-й фигуре?

Задача 18п.2. На какую цифру оканчивается произведение всех нечётных чисел от 1 до 2021?

Задача 18п.3. На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх цветов?

Задача 18п.4. Петя выписал в порядке возрастания все четырёхзначные числа, в записи которых используются цифры 1, 2, 3, 4 по одному разу. На каком месте стоит число 4123?

Задача 18п.5. Из куба 4 × 4 × 4 удалили все кубики, не прилегающие ни к какому его ребру (см. рис.). Из скольких квадратиков 1 × 1 состоит поверхность получившейся фигуры?

Задача 18п.6. 25 слив стоят столько долларов, сколько слив можно купить на 1 доллар. Сколько стоит слива? (Дайте ответ в центах.)

Задача 18п.7. При замерзании вода увеличивается на 19 часть своего объёма. На какую часть своего объёма уменьшится лёд при обратном превращении в воду? (Введите ответ в виде дроби, например: 4/5.)

«Письменные» задачи

Задача 18п.8. На рисунке вы видите 20 точек. Проведите линию кратчайшей длины так, чтобы она начиналась в A, заканчивалась в B и проходила бы через все точки.
(Замечание: все точки расположены в узлах квадратной сетки.)

Задача 18п.9. Проведите три прямые линии так, чтобы отделить на рисунке коз от капусты.

Задача 18п.10.
а) Пусть у вас имеется палочка длиной 9 см. Сделайте на ней всего три засечки так, чтобы любое целое число сантиметров от 1 до 9 равнялось бы расстоянию или между какими-то двумя засечками, или между засечкой и концом палочки, или между концами палочки.
б) Та же задача, но имеется палочка длиной 13 см, и надо получить все расстояния от 1 до 13, сделав всего 4 засечки.

Задача 18п.11. Придумайте фигурку из 12 клеток, которую можно разрезать на одинаковые трёхклеточные фигурки, можно разрезать на одинаковые четырёхклеточные фигурки, но нельзя разрезать на доминошки.

«Устные» задачи

Задача 18п.12. В деревне вдоль дороги расположены четыре дома. Расстояния между ними указаны на рисунке. В деревне решили поставить колодец. Где его нужно расположить, чтобы сумма расстояний до всех домов была как можно меньше?

Задача 18п.13. В коробке
а) 7;
б) 8;
в) 30 спичек. Петя и Вася по очереди берут из коробка не более половины имеющихся там спичек. Проигрывает тот, у кого нет хода. Кто может обеспечить себе победу?

Задача 18п.14. Две машины одновременно выехали из A в B. Первая первую половину пути ехала со скоростью 100 км/ч, а вторую — со скоростью 80 км/ч. Вторая половину времени, затраченного ею на весть путь, ехала со скоростью 100 км/ч, а вторую — со скоростью 80 км/ч. Кто раньше прибыл в B?

Задача 18п.15. На прямоугольном куске хлеба лежит круглый кусочек колбасы. Всегда ли найдётся такой прямой разрез этого бутерброда, который разделит поровну и хлеб, и колбасу?

Призовые задачи

Задача 18п.16. У Пети есть 10 кубиков. Грани у них только белого или чёрного цвета, причём среди кубиков нет двух, окрашенных одинаково. Петя сложил кубики, как показано на рисунке справа. Определите, какие грани у верхнего кубика белые, и какие — чёрные.

Задача 18п.17.
а) Целые числа от 1 до 2020 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1010 сумм перемножили. Мог ли результат оказаться квадратом целого числа?
б) Целые числа от 1 до 2022 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1011 сумм перемножили. Мог ли результат оказаться квадратом целого числа?

Занятие 17. # pdf28 декабря 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 17п.1. На рисунке справа в 1-й фигуре — 1 кубик, во 2-й — 7, в 3-й — 13. Если составлять фигуры дальше, сколько кубиков будет в 10-й фигуре?

Задача 17п.2. Прочитайте стихотворение и ответьте на заданный в нём вопрос.
На ёлке волшебной гирлянды горят.
А рядом две тысячи двадцать рябят.
А нет, вон Егорка ещё прибежал.
О сладких подарках он только узнал.
Мешок Дед Мороза, конечно, велик.
Но столько подарков носить не привык.
На помощь Снегурочка Деду пришла
Мешку подарила чуть-чуть волшебства.
Теперь два подарка лишь только отдашь,
Так сразу в мешке один новый создашь.
Так сколько подарков придётся нести,
Чтоб всех одарить и пустому пойти?

Задача 17п.3. В королевстве работают 40000 чиновников с одинаковыми зарплатами. Король заметил, что среди них много бездельников. Министр предложил уменьшить число чиновников на 50%, но повысить зарплату каждого оставшегося на 50%. На сколько процентов уменьшатся расходы на содержание чиновников?

Задача 17п.4. Катер и плот вышли одновременно из Нижнего Новгорода вниз по Волге. Катер дошёл до Астрахани за 5 суток и сразу поплыл обратно. Через сколько суток он встретит плот?

Задача 17п.5. На рисунке справа вы видите кубик и 8 развёрток. Из каких четырёх развёрток, согнув их по пунктирным линиям, можно сложить кубик? (Укажите номера развёрток в порядке возрастания через запятую.)

Задача 17п.6. На городских электронных часах высвечивается время: часы и минуты. Сколько времени в сутки на этих часах высвечивается хотя бы в одном месте цифра 2 (введите ответ в минутах)?

Задача 17п.7. Чему равна дробь *-3mm 1 · 2 · 3 + 2 · 4 · 6 + 4 · 8 · 12 + 7 · 14 · 211 · 3 · 5 + 2 · 6 · 10 + 4 · 12 · 20 + 7 · 21 · 35? *-3mm (Введите ответ в виде десятичной дроби, например: 1,79.)

Задача 17п.8. Два равносторонних треугольника — периметра 12 см и периметра 15 см — пересекаются по шестиугольнику, противоположные стороны которого параллельны (см. рисунок). Найдите периметр этого шестиугольника (в см).

Задача 17п.9.
а) В магазине продаются 8 ёлок. Сколько есть способов выбрать две из них?
б) А три из них?
в) На стене дома окна расположены в виде прямоугольника 6 × 8. Момент назовём счастливым, если ровно в 9 из них горит свет, и освещённые окна образуют прямоугольную сетку 3 × 3 (пример см. на рисунке). Сколько всего разных конфигураций счастливых моментов?

Задача 17п.10. Завод выпустил серию конфет одного размера. Одна из сторон конфеты — квадрат, а четыре оставшиеся стороны — одинаковые равнобедренные треугольники. Каждая сторона окрашена целиком в один из цветов: жёлтый, красный, синий, зелёный или белый, цвета на конфете не повторяются. Сколько разных видов конфет может выпускать завод?

Задача 17п.11. Колонна атлетов длиной 50 м бежит по прямой со скоростью 20 км/ч, навстречу идёт тренер со скоростью 5 км/ч. Добежав до тренера, атлет разворачивается и бежит с той же
скоростью назад. Найдите длину колонны (в метрах), когда все атлеты развернутся.

Задача 17п.12. Петя вышел из точки A плоской равнины и прошел 1 м на юг, 2 м — на запад, 3 м — на север, 4 м — на восток, 5 м — на юг, 6 м — на запад, 7 м — на север, 8 м — на восток, и т.д. Пройдя суммарно 5 км, Петя устал и сел отдохнуть. На каком расстоянии от точки A это случилось?

Задача 17п.13. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов выпивает озеро за день, а стадо из 37 слонов — за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?

Задача 17п.14. В ряд выписана сумма 105 единиц: 1 + 1 + ... + 1 + 1. Сначала меняют знак на противоположный перед каждой 3-й единицей, потом — перед каждой 5-й единицей, и наконец — каждой 7-й. Найдите значение полученного выражения.

Задача 17п.15. Из B в A и из A в B на рассвете (одновременно) вышли навстречу друг другу (по одной дороге) два путника. Они встретились в полдень, но не остановились, а каждый продолжал идти со своей скоростью. Первый пришёл (в A) в 4 часа дня, а второй (в B) в 9 часов вечера. В котором часу был в этот день рассвет?

Занятие 16. # pdf21 декабря 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 16п.1. На рисунке справа — 4 фигуры. В 1-й фигуре 8 квадратиков, во 2-й — 16, в 3-й — 24, в 4-й — 34, фигуры составлены по некоторому правилу. Если составлять фигуры дальше, сколько квадратиков будет в 10-й фигуре?

Задача 16п.2. Для олимпиады по информатике нужны 100 свободных розеток. Есть лишь одна розетка с электричеством и удлинители, каждый на 6 розеток. Какого минимального количества удлинителей хватит?

Задача 16п.3. Ребята стоят по кругу и считаются: 1-й остается в круге, следующий по часовой стрелке (2-й) выходит из круга, следующий (3-й) остается, 4-й выходит, и т. д., через одного по кругу. Кто останется последним, если вначале ребят стояло
а) 8;
б) 9;
в) 10;
г) 16;
д) 179?

Задача 16п.4. Справа вы видите несколько одинаковых треугольников. У них одна и та же форма и один и тот же размер. Но ровно один из треугольников в некотором смысле отличается от других (а другие в этом смысле не отличаются один от другого). Найдите этот треугольник.

Задача 16п.5. На прямой через равные промежутки стоят 10 точек, занимая отрезок длины a. На другой прямой через те же промежутки стоят 100 точек, занимая отрезок длины b. Во сколько раз b больше a?

«Письменные» задачи

Задача 16п.6. Нарисуйте на листе 6 точек и несколько отрезков с концами в этих точках так, чтобы отрезки не пересекались и каждая точка была соединена ровно
а) с 3-мя;
б) с 4-мя другими точками.

Задача 16п.7. Обойдите фигуру, изображённую на рисунке справа,
не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды
вдоль одной линии (самопересечения разрешаются).

Задача 16п.8. Из кубиков, занумерованных числами от 1 до 10, сложили некоторую фигуру, как показано на рисунке справа. Переложите кубики так, чтобы получилась такая же фигура, но каждый кубик соприкасался бы только с такими кубиками, с которыми он до этого не соприкасался.

Задача 16п.9. В прямоугольнике сделали прямоугольную дыру (см. рис.). С помощью карандаша и линейки (без делений) проведите прямую, делящую полученную фигуру на 2 части одной площади. (Вам понадобятся вспомогательные прямые. Прямые можно проводить через углы фигуры и через точки пересечения образующихся прямых.)

«Устные» задачи

Задача 16п.10. В ряд выписаны 10 чисел: 1-е равно 3, сумма любых трёх подряд равна 15. Можно ли наверняка угадать
а) 10-е число;
б) 5-е число;
в) сумму всех 10 чисел?

Задача 16п.11. Завод выпускает кубики одного размера, каждая грань любого кубика — чёрная или белая (все варианты раскрасок встречаются). Сколько завод выпускает видов кубиков
а) ровно с двумя белыми гранями;
б) ровно с тремя белыми гранями.
в) Сколько всего видов кубиков?

Задача 16п.12.
а) Петя и Вася играют на 20-клеточной полоске: Петя в свой ход выбирает пустую клетку и ставит туда плюс, а Вася в свой ход выбирает пустую клетку и ставит туда минус. Ходят по очереди, начинает Петя. Нельзя ставить рядом (в соседние клетки) одинаковые знаки. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто может обеспечить себе победу?
б) Та же задача для полоски длиной 1 × 179 клеток.

Задача 16п.13. В магазине есть на равную сумму конфеты стоимостью 120 р за кг и конфеты стоимостью 180 р за кг. Конфеты смешали. По какой цене за кг надо продавать эту смесь, чтобы выручить ту же сумму денег?

Призовые задачи

Задача 16п.14.
а) Завод делает конфеты-пирамидки одинакового размера. У каждой конфеты 4 «стороны» в виде равностороннего треугольника. Каждую сторону покрывают глазурью: жёлтой, красной, синей или белой, все цвета присутствуют. Сколько может быть разных видов таких конфет?
б) А если конфеты — кубики одного размера с 6-ю «сторонами» 6 данных цветов?

Задача 16п.15. Из чисел 1, 2,...,1000 выбрали 501 число. Докажите, что одно из них делится на другое.

Занятие 15. # pdf14 декабря 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 15п.1. По одну сторону длинного коридора в ряд расположены несколько кабинетов. Бюрократы Иванов и Петров работают в соседних кабинетах. Если считать с одного из краёв коридора, кабинет Иванова будет 17-м по счёту. Если считать с другого конца коридора, кабинет Петрова будет 9-м по счёту. Сколько всего кабинетов может быть в этом коридоре? (Введите ответы подряд, по возрастанию, через запятую.)

Задача 15п.2. На рисунке справа — 4 фигуры из кубиков. В первой фигуре 1 кубик, во второй 7, в третьей 19, фигуры составлены по некоторому правилу. Если продолжать составлять фигуры дальше, сколько кубиков будет в 10-й по счёту фигуре?

Задача 15п.3. От безделья Петя ставил точки на листе бумаги, всего получилось 7 штук. Потом он решил провести через каждую пару точек прямую и подсчитать, сколько разных прямых получится.
а) Сколько прямых минимум он мог провести?
б) Сколько прямых максимум он мог провести?

Задача 15п.4. На рисунке справа вы видите кубик и 8 развёрток. Из каких четырёх развёрток, согнув их по пунктирным линиям, можно сложить кубик? (Укажите номера развёрток в порядке возрастания через запятую.)

Задача 15п.5. Траулер поймал в сеть несколько акул и загрузил их в трюм. Но в трюме образовалась пробоина, и в первую же минуту из трюма удрали половина всех акул и ещё пол акулы. Во вторую минуту удрали половина оставшихся акул и ещё пол акулы, и т. д.: каждую следующую минуту удирали половина имеющихся акул и ещё пол акулы. В итоге все акулы удрали за 5 минут. Сколько акул изначально поймал траулер?

«Письменные» задачи

Задача 15п.6. С помощью карандаша и линейки (без делений) проведите прямую, делящую фигуру, изображённую справа, на две части одной площади. (Для этого вам понадобится провести несколько вспомогательных прямых. Прямые разрешается проводить через любые вершины фигуры и через точки пересечения образующихся прямых.)

Задача 15п.7. Пешеход обошёл несколько улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли такое быть?

Задача 15п.8. Не отрывая карандаша от бумаги, проведите линию, пересекающую по одному разу все 16 отрезков, из которых составлена плоская фигура на рисунке.

«Устные» задачи

Задача 15п.9. Имеется много одинаковых груш и одинаковых яблок.
а) Если три груши легче четырёх яблок, то обязательно ли тогда четыре груши легче пяти яблок?
б) Если четыре груши легче трёх яблок, то обязательно ли тогда пять груш легче четырёх яблок?

Задача 15п.10. Траулер поймал полную сеть трески. Но сеть оказалась дырявой, и пока её переносили на палубу, из сети выпрыгнула в воду сначала 1 треска, через секунду — 2 трески, через секунду — 4 трески, и т.д. — каждую секунду сбегало в два раза больше трески, чем в предыдущую секунду. Последняя порция пытающейся сбежать трески плюхнулась уже прямо на палубу, и, как оказалось, весила 1 тонну. В сети при этом осталась лишь одна запутавшаяся в ней треска.
Сколько тонн трески изначально поймали в сеть? (Все рыбины весят одинаково.)

Задача 15п.11. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям (см. рисунок справа) так, чтобы при этом перелезть через каждый забор ровно по одному разу?

Задача 15п.12. По течению реки с постоянной скоростью плыла моторная лодка. Когда она проплывала под ЛЭП, с неё упал спасательный круг и поплыл со скоростью течения. Через 5 минут на лодке заметили пропажу, мгновенно развернулись и с той же скоростью (относительно воды) отправились в погоню. Круг удалось догнать в 1 км от ЛЭП. Какова была скорость течения?

Призовые задачи

Задача 15п.13. Двое играют на шахматной доске. В углу лежит монета. Каждым своим ходом игрок передвигает монету на соседнюю по стороне клетку, если монета там ещё не была. Ходят по очереди, кто не может сделать ход — проиграл. Кто из игроков — начинающий, или его партнёр, может обеспечить себе победу?

Задача 15п.14. В произведении 1! · 2! · 3! · ... · 99! · 100! вычеркните один из 100 множителей так, чтобы остался квадрат целого числа. (n! — это произведение 1 · 2 · 3... ·  n; например, 1!=1, 2!=1 · 2, 3!=1 · 2 · 3, и т.д.)

Занятие 14. # pdf7 декабря 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 14п.1. На рисунке справа — 3 набора мячиков. В первом наборе 5 мячиков, во втором 13, в третьем 25, наборы нарисованы по некоторому правилу. Если продолжать рисовать наборы дальше, сколько мячиков будет в 10-м по счёту наборе?

Задача 14п.2. В горизонтальный бассейн шириной 20 м и длиной 125 м налили 1 000 000 литров воды. Какая будет глубина воды в бассейне, в сантиметрах?

Задача 14п.3. Петя купил 4 шоколадки и 2 батончика, а Вася — 4 батончика и 2 шоколадки. Петя потратил на 90 рублей больше. Сколько стоит батончик (в рублях), если шоколадка в 2 раза дороже?

Задача 14п.4. Сколькими способами можно, продвигаясь от буквы к букве, прочитать на рисунке справа слово «треугольник»? (Один из маршрутов там указан.)

Задача 14п.5.
а) У каждого двузначного числа нашли произведение цифр и сложили эти произведения. Сколько получилось?
б) А сколько получится, если у каждого трёхзначного числа найти произведение цифр и сложить произведения?

Задача 14п.6. В лесу есть несколько полянок, они соединены непересекающимися тропинками. Лесник, живущий на одной из полянок, пошёл за грибами, к полудню побывал на всех полянках и на какой-то из них остановился передохнуть. Известно, что лесник прошёл каждую тропинку ровно один раз, причём на самой большой полянке побывал трижды. Сколько пройденных лесником тропинок ведёт к самой большой полянке, если она была на его пути
а) не первой и не последней?
б) первой, но не последней?
в) первой и последней?

«Письменные» задачи

Задача 14п.7. На рисунке справа изображён план города. Можно ли составить маршрут прогулки так, чтобы пройти по каждому мосту ровно один раз?

Задача 14п.8. Придумайте 4 целых числа, которые друг на друга не делятся, но произведение любых двух делится каждое из двух оставшихся.

Задача 14п.9. На синей окружности отмечены 10 чёрных точек и одна красная. Чего больше: треугольников, у которых все вершины чёрные, или четырёхугольников с тремя чёрными вершинами и одной красной? Ответ объясните.

Задача 14п.10. Приведите пример расшифровки ребуса Р · Е · Ш · А · ЙУ · С · Т · Н · О=7, если каждая буква — это одно из чисел от 1 до 10, причём разные цифры заменены разными буквами. После расшифровки должно получиться верное равенство.

Задача 14п.11. На рисунке справа вы видите 6 клетчатых фигурок. Сложите из них какой-нибудь прямоугольник. (В прямоугольнике не должно быть дырок, фигурки нельзя накладывать друг на друга.)

«Устные» задачи

Задача 14п.12. Прямоугольный брикет хозяйственного мыла 130 раз использовали для мытья рук, в результате чего все его размеры (длина, ширина, высота) уменьшились в 3 раза. Сколько раз удастся вымыть руки оставшимся кусочком? (На каждое мытьё рук тратится одно и то же количество мыла.)

Задача 14п.13.
а) 49 одноцентовых монет лежат в ряд слева направо, а правее их всех лежит монета в 1 доллар. Играют двое, за ход можно взять 1 или 3 монеты с левого края. Кто из играющих — начинающий или его соперник — может обеспечить себе монету в 1 доллар?
б) А если бы одноцентовых монет было 50?

Задача 14п.14. Петя посадил на каждое поле доски 9 × 9 кузнечика. В какой-то момент кузнечики одновременно прыгнули: каждый перескочил по диагонали на соседнее поле. Петя подсчитал, на скольких полях по-прежнему есть хотя бы один кузнечик. Могло ли таких полей быть
а) ровно 72;
б) больше 72?

Задача 14п.15. Острова архипелага соединены мостами. Турист прилетел на один из островов и пошёл гулять. Докажите, что турист может с любого острова вернуться на исходный, проходя лишь те мосты, которые были пройдены им нечётное число раз.

Призовые задачи

Задача 14п.16. В круге площади 50 см2 провели 2 перпендикулярные прямые, обе на расстоянии 1 см от центра круга; круг разбился на 4 части. Найдите сумму площадей самой маленькой и самой большой частей.

Задача 14п.17. Придумайте число с двойкой на конце, которое удвоится, если эту двойку перенести в начало.

Занятие 13. # pdf30 ноября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 13п.1. На сколько 4096 больше, чем 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048?

Задача 13п.2. На рисунке справа вы видите 4 фигурки. В первой фигурке один квадратик и 4 кружка. Каждая следующая фигурка удлиняет предыдущую по некоторому правилу. Если продолжать рисовать фигурки дальше, то
а) сколько квадратиков будет в 50-й по счёту фигурке?
б) сколько кружков будет в 50-й по счёту фигурке?

Задача 13п.3. Нептуну служат осьминоги с 6-ю, 7-ю и 8-ю ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились 4 осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», белый: «Вместе у нас 27 ног», жёлтый: «Вместе у нас 26 ног», рыжий: «Вместе у нас 25 ног». У кого сколько ног? (Введите подряд число ног синего, белого, жёлтого и рыжего осьминогов, например: 6788.)

Задача 13п.4. На рисунке справа вы видите кубик и 9 развёрток. Из каких трёх развёрток можно сложить одинаковые по раскраске кубики? (Укажите их номера подряд по возрастанию, например: 129.)

Задача 13п.5. Найдите наименьшее натуральное число с суммой цифр 50.

«Письменные» задачи

Задача 13п.6. На стол положили 35 спичек так, как показано на рисунке справа. Получилась спираль, «закрученная» по часовой стрелке. Переложите четыре спички так, чтобы получилась такая же спираль, закрученная против часовой стрелки.

Задача 13п.7. Разделите квадрат 6 × 6 на трёхклеточные уголки так, чтобы никакие два уголка не образовывали прямоугольник 2 × 3.

Задача 13п.8.
а) Можно ли заменить звёздочки в равенстве 1*2*3*4*5*6*7*8=0 на знаки « + » и «-» так, чтобы оно стало верным?
б) А в равенстве 1*2*3*4*5*6*7=0?
в) А в равенстве 1*2*3*4*5*6*7*8*9=0?

Задача 13п.9. Докажите, что равносторонний треугольник можно разрезать на любое число равносторонних треугольников, начиная с 6.

«Устные» задачи

Задача 13п.10. Справа даны 4 одинаковых кубика. Сколько точек на нижней грани нижнего кубика?

Задача 13п.11. Гномы и эльфы сидят за круглым столом: всего 100 существ, через равные промежутки друг от друга. Гномов больше половины, но есть и хотя бы один эльф. Обязательно ли найдутся:
а) какие-то два гнома, сидящие друг напротив друга?
б) какие-то два гнома, сидящие рядом?
в) гном и эльф, между которыми ровно семь существ?
г) гном и эльф, между которыми ровно два существа?
д) два гнома, между которыми ровно три существа?

Задача 13п.12. Петя и Вася одновременно прыгнули с плота, плывущего по реке с постоянным течением, и поплыли в разные стороны. Через 5 минут они развернулись и поплыли к плоту. Кто вернулся раньше? (Каждый плыл равномерно со своей скоростью.)

Задача 13п.13. Может ли жук проползти по всем клеткам доски 7 × 9, переходя с клетки на соседнюю (по стороне), так, чтобы побывать на каждой клетке по одному разу и вернуться в исходную клетку?

Задача 13п.14. Фокусник с завязанными глазами даёт зрителю 13 карточек с номерами от 1 до 13. Зритель прячет 2 карточки, а остальные отдаёт помощнику фокусника. Помощник выбирает 2 из оставшихся карточек, и зритель называет их фокуснику в том порядке, в каком захочет. И фокусник тут же угадывает карточки, спрятанные у зрителя. Как фокуснику и помощнику договориться, чтобы фокус всегда удавался?

Призовая задача

Задача 13п.15. Найдутся ли 10 различных натуральных чисел, ни одно из которых не является квадратом натурального числа, но произведение любых двух является квадратом натурального числа?