Занятие 12.

Занятие 12.

https://www.shashkovs.ru/vmsh-a/

Занятие 12. # pdf23 ноября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 12п.1. В одной школе работают три друга: математик, историк и химик. Их фамилии Шишкин, Ёлкин и Палкин. У историка нет ни братьев, ни сестёр, и он самый младший из друзей. Палкин, женатый на сестре Шишкина, старше математика. Назовите профессии Шишкина, Ёлкина и Палкина (введите подряд в нужном порядке первые буквы, слитно, например: имх).

Задача 12п.2. На рисунке справа вы видите призму и 8 развёрток. Их каких двух развёрток, если их сложить по пунктирным линиям, получатся одинаково раскрашенные призмы?
(Укажите номера развёрток в порядке возрастания через запятую.)

Задача 12п.3. Приведите пример такого натурального числа, что при умножении его на 101001000100001 получается число без нулей в десятичной записи.

Задача 12п.4. На окружности даны 100 точек. Кузнечик прыгает по точкам по часовой стрелке, пока не вернётся в исходную точку. Сколько всего разных точек он посетит, если он прыгает не подряд, а
а) через 3 точки;
б) через 7 точек;
в) через 2 точки?

Задача 12п.5. В ящике лежат 100 шариков красного, синего и белого цвета. Если, не заглядывая в ящик, вытащить 90 шариков, среди них обязательно найдутся 3 шарика различных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 2 шарика разного цвета?

«Письменные» задачи

Задача 12п.6. Раскрасьте доску 5 × 5 в 3 цвета так, чтобы любой прямоугольник 1 × 3 был трёхцветным.

Задача 12п.7. На что пойдёт больше краски: на покраску квадрата со стороной 6 клеток или на покраску необычного кольца, которое вы видите на рисунке?

Задача 12п.8. Разрежьте какой-нибудь квадрат на 9 квадратов: 5 одинаковых, ещё 3 одинаковых другого размера, и ещё один квадрат третьего размера.

Задача 12п.9. В некоторой области есть пять городов. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает не более одной другой дороги (и не более одного раза). Каждая дорога одного из двух типов: асфальтовая либо грунтовая, причём при обходе вокруг каждого города (по периметру) выходящие из него дороги чередуются (по типу). Нарисуйте пример, как могли быть соединены города. (Дороги разного типа рисуйте разным цветом, или сплошной и штриховой линиями.)

«Устные» задачи

Задача 12п.10.
а) Зритель задумал одну из 100 различных карт. За ход фокусник раскладывает все карты на 10 кучек и узнаёт у зрителя, в какой группе задуманная карта. Как фокуснику за два вопроса наверняка узнать задуманную карту?
б) Пусть теперь фокусник каждый раз раскладывает все карты на 5 кучек. Как ему наверняка узнать карту за три вопроса?

Задача 12п.11. «Сайгак» ходит по доске ходами типа (1,3) (т.е. сдвигается на соседнее поле и ещё на 3 поля в перпендикулярном направлении; на рис. дан пример хода). Сможет ли «сайгак» за несколько ходов попасть с исходного поля на соседнее (имеющее общую сторону с исходным)?

Задача 12п.12. Прямоугольник 4 × 9 произвольно наложили на квадрат 6 × 6, как на рисунке справа. Докажите, что площади закрашенных частей прямоугольника и квадрата равны.

Задача 12п.13. На шахматной доске стоят 10 ладей. Докажите, что их можно раскрасить в три цвета так, чтобы ладьи одного цвета друг друга не били. (Ладьи бьют друг друга, если между ними нет других ладей.)

Задача 12п.14. На доске 8 × 8 в левом нижнем углу в виде квадрата 3 × 3 лежат девять фишек. За ход какая-нибудь одна фишка перепрыгивает через какую-нибудь другую (не обязательно соседнюю) на клетку, симметричную первой фишке относительно второй (если эта клетка свободна). Можно ли после нескольких таких ходов собрать все фишки в виде квадрата 3 × 3
а) в левом верхнем углу доски;
б) в правом верхнем углу доски?

Призовая задача

Задача 12п.15. Барон Мюнхгаузен утверждает, что нашёл 5 натуральных чисел, которые все различны, причём произведение любых двух из этих чисел делится на сумму всех пяти чисел. Может ли барон быть прав?

Занятие 11. # pdf16 ноября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 11п.1. «Лесенку» на рисунке справа раскрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке так, что правый нижний угол — белый. Сколько получилось чёрных клеток и сколько белых? (Введите два числа подряд, через запятую.)

Задача 11п.2. В коробке лежат 30 фруктов: яблоки, груши и апельсины (каждый фрукт присутствует), причём груш в 14 раз больше, чем апельсинов. Сколько в коробке яблок?

Задача 11п.3. На рисунке справа вы видите пять развёрток и домик. Из каких развёрток можно сложить такой домик? (Укажите номера развёрток в порядке возрастания через запятую.)

Задача 11п.4. В ряд стоят Аня, Белла, Вера и Галя, у каждой в руке батончик Всего батончиков четыре: «Марс», «Сникерс», «Твикс» и «Баунти». У Ани не «Баунти» и не «Марс», девочка со «Сникерсом» стоит между Верой и девочкой с «Твиксом», у Гали не «Сникерс» и не «Баунти». Белла стоит между Галей и девочкой с «Марсом». У кого «Марс», у кого «Сникерс», у кого «Твикс» и у кого «Баунти»? (Введите начальные буквы имён девочек в нужном порядке, подряд и без запятых, например: АБВГ.)

Задача 11п.5. На дерево села стая птиц — на каждую ветку по 3 птицы,
а одна птица осталась летать вокруг дерева. Потом все птицы пересели по 4 на ветке, но одна ветка осталась свободной. Сколько было птиц и сколько веток? (Введите два числа через запятую.)

«Письменные» задачи

Задача 11п.6. Десять одинаковых монет образуют равносторонний треугольник, направленный вниз, как показано на рисунке. Переложите три монеты так, чтобы получился равносторонний треугольник, направленный вверх. (Укажите на рисунке стрелками, какие три монеты куда надо переместить.)

Задача 11п.7. Имеется много четырехклеточных фигурок в виде буквы «Т», как на рисунке справа. Как сложить из таких фигурок (без дырок и перекрытий)
а) квадрат;
б) букву «Т» той же формы, но большего размера? (Объясните, как это сделать или просто нарисуйте.)

Задача 11п.8. Можно ли разрезать квадрат со стороной 4 см на прямоугольники с суммой периметров 25 см?

Задача 11п.9. Дом имеет вид многоугольника сложной формы, не обязательно выпуклого. Снаружи дома есть фонарь, светящий во все стороны, между домом и фонарём ничего нет. Может ли так быть, что на каждой стене дома есть участок, куда не попадают прямые лучи от фонаря? (Если может — нарисуйте пример дома и отметьте точкой, где стоит фонарь; если не может — напишите доказательство.)

«Устные» задачи

Задача 11п.10. Докажите, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов, начиная с 6.

Задача 11п.11. Клетчатый коврик размером 10 × 10 раскрашен в шахматном порядке в два цвета. Хулиган Вася испортил его, вырезав две противоположные угловые клетки (лежащие на одной диагонали). Удастся ли разрезать этот коврик на прямоугольные кусочки размера 1 × 2?

Задача 11п.12. Поп и Балда играют на «щелбаны» в такую игру. Они втайне друг от друга пишут каждый строчку из 10 знаков «крестик» или «нолик». Затем выписывают все эти знаки по кругу: первый знак Попа, первый знак Балды, второй знак Попа, второй знак Балды и т.д. Балда даёт Попу столько щелбанов, в скольких местах крестик находится рядом с ноликом. Какого наименьшего количества щелбанов может гарантированно добиться Поп?

Задача 11п.13. Можно ли разрезать доску 10 × 10 на фигурки из 4 клеток в виде буквы T?

Призовая задача

Задача 11п.14. Электронный ключ от двери состоит из 7 цифр, которые все разные. За одну попытку можно ввести 7 разных цифр, и если хоть какая-то по счёту цифра совпадёт с такой же по счёту цифрой ключа, дверь откроется. Можно ли не более чем за 6 попыток гарантированно открыть эту дверь?

Занятие 10. # pdf9 ноября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 10п.1. Найдите сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14.

Задача 10п.2. Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и белой рубашках. Их ботинки тех же трёх цветов. У Бима ботинки и рубашка одного цвета. На Боме нет ничего красного. У Бама ботинки белые, а рубашка — нет. Каких цветов ботинки и рубашки у Бома и Бима? (Введите подряд 4 буквы, обозначающие цвета ботинок Бома, рубашки Бома, ботинок Бима, рубашки Бима, например: ксбб.)

Задача 10п.3. У одного мальчика столько же сестёр, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестёр? (Введите числа через запятую без пробелов.)

Задача 10п.4. Увиделись Белов, Чернов и Рыжов. «Цвет волос одного из нас белый, другого — чёрный, третьего — рыжий, но ни у кого не соответствует фамили», — сказал черноволосый. «Да», — согласился Белов. Каких цветов волосы у Белова, у Чернова и у Рыжова? (Введите подряд три буквы, обозначающие цвета, например: бчр.)

Задача 10п.5. Две машины ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первая выехала из Москвы в 10 ч утра и прибыла в Кострому в 15 ч, а вторая выехала из Костромы в 11 ч и прибыла в Москву в 16 ч. В котором часу они встретились?

«Письменные» задачи

Задача 10п.6. На одной из клеток клетчатой фигуры нарисовали краской букву P (см. рис.). На эту клетку поставили кубик с ребром, равным стороне клетки, и, перекатывая через рёбра, прокатили по фигуре. Отпечаток буквы появился на грани и всех клетках, куда становилась эта грань. Нарисуйте, где ещё появился отпечаток и как там отпечаталась буква.

Задача 10п.7. Поставьте знаки « + », «-», « × », «:» и скобки так, чтобы в итоге получилось 1:
а) 1 2 3;
б) 1 2 3 4;
в) 1 2 3 4 5;
г) 1 2 3 4 5 6;
д) 1 2 3 4 5 6 7.
е) 1 2 3 4 5 6 7 8;
ж) 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Задача 10п.8.
а) Разрежьте клетчатый квадрат 3 × 3 по клеткам на 6 квадратов.
б) Разрежьте клетчатый квадрат 4 × 4 по клеткам на 7 квадратов.
в) Разрежьте клетчатый квадрат 4 × 4 по клеткам на 8 квадратов.
г) Разрежьте клетчатый квадрат 5 × 5 по клеткам на 10 квадратов.

Задача 10п.9. Ваза, изображённая на рисунке справа, составлена из шести одинаковых четвертинок окружностей.
а) Разрежьте её на части, из которых можно сложить квадрат.
б) Сделайте это, разрезав вазу не более чем на три части.

«Устные» задачи

Задача 10п.10. На столе лежат четыре карточки (см. рисунок). На каждой из них с одной стороны — буква, а с другой — целое число. Какие карточки необходимо перевернуть, чтобы убедиться, верно ли такое утверждение про эти карточки: «если на какой-то стороне карточки — чётное число, то на другой её стороне — гласная буква»?

Задача 10п.11. Докажите, что любое число тугриков, большее 7, можно заплатить, используя только монеты в 3 тугрика и 5 тугриков.

Задача 10п.12. В лес по грибы пошли 15 грибников. Они собрали суммарно 100 грибов. Обязательно ли тогда какие-то двое собрали поровну грибов?

Задача 10п.13. Могут ли три человека, имея один двухместный мотоцикл, преодолеть расстояние 60 км за три часа? Скорость пешехода равна 5 км/ч, скорость мотоцикла (с грузом или без груза) — 50 км/ч.

Задача 10п.14. Докажите, что в любой компании из 10 человек найдутся двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании (каждый может знать максимум всех и минимум никого в этой компании).

Занятие 9. # pdf2 ноября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 9п.1. Петя заметил, что оставшаяся часть суток втрое меньше прошедшей. В котором часу это было?

Задача 9п.2. Придумайте число, совпадающее с каждым из чисел 7831, 2851, 7859, 7651 ровно в одном разряде.

Задача 9п.3. Если все мальчики класса получат за контрольную тройки, а все девочки — четверки, то средний балл будет 3,2. Какой будет средний балл, если все мальчики получат четвёрки, а девочки — пятёрки? (Средний балл — это сумма всех оценок, делённая на количество школьников.)

Задача 9п.4. Все натуральные числа, начиная с единицы, записаны подряд в порядке их возрастания: 123456789101112... Какая цифра стоит в этой записи
а) на 30-м месте;
б) на сотом месте?

Задача 9п.5. На двух соседних сторонах AB и BC картонного прямоугольника ABCD площади 60 см2 отметили две точки: на стороне AB отступили от вершины B половину этой стороны, а на стороне BC отступили от вершины B на треть этой стороны. Затем соединили две отмеченные точки отрезком и разрезали по нему четырёхугольник на две части. Найдите площади этих частей. (Укажите через запятую числовое значение (в квадратных сантиметрах) площади меньшей части и площади большей части.)

Задача 9п.6. Сколькими способами можно на трёх клетках полоски 1 × 10 поставить
а) крестик, нолик и звёздочку;
б) крестик и два нолика;
в) три нолика?

«Письменные» задачи

Задача 9п.7. Комендант расставил по стенам квадратного бастиона 16 часовых — по 5 человек на стену (см. рис.).
а) Пришёл полковник и велел расставить этих же часовых по 6 человек на стену.
б) Затем пришёл генерал и велел расставить их по 7 человек на стену.
в) Тут явился маршал и велел расставить их по 8 человек на стену.
Выполните эти приказы.

Задача 9п.8. Три квадрата со сторонами 10 см, 8 см, 6 см составили так, как показано на рисунке справа. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Задача 9п.9. [Шутка] Хитрый преподаватель попросил 24 учеников математического класса встать в 6 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 5 человек. Ребята не растерялись и выполнили задание. Нарисуйте, как.

Задача 9п.10. Комната имеет вид многоугольника сложной формы, не обязательно выпуклого. Внутри комнаты есть лампа, светящая во все стороны. Может ли так быть, что
а) хотя бы на какой-то стене комнаты есть участок, куда не попадают прямые лучи от лампы;
б) на каждой стене комнаты есть участок, куда не попадают прямые лучи от лампы?
(Если могло — нарисуйте пример комнаты и отметьте точкой, где стоит лампа; если не могло — напишите доказательство.)

«Устные» задачи

Задача 9п.11. Справа изображена развёртка куба. У каких кубиков, нарисованных рядом, может быть такая развёртка?
   

Задача 9п.12.
а) Вася рвёт лист бумаги на 6 частей, одну из получившихся частей — ещё на 6, и т.д. Сможет ли он разорвать лист ровно на 179 частей?
б) А если Вася может рвать очередную часть как на 6 частей, так и на 7 частей?

Задача 9п.13.
а) Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник и поделить его на две равные части разрезом такой формы, как показано справа на верхнем рисунке?
б) Решите ту же задачу для разреза такой формы, как показано справа на нижнем рисунке. (В обоих пунктах разрез должен лежать внутри многоугольника, на границу выходят только концы разреза. Стороны многоугольника и звенья разреза должны идти по сторонам клеток.)

Задача 9п.14. Дана клетчатая полоска 1 × 20. В самой левой её клетке лежит камешек. Играют двое, ходят по очереди. За ход надо сдвинуть камешек вправо или влево на любое число клеток, на которое ещё никто камешек не сдвигал. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может обеспечить себе победу — начинающий или его партнёр?

Занятие 8. # pdf26 октября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 8.1. В одном селе 250 домов. В некоторых домах по одной кошке, в половине остальных домов две кошки, а в оставшихся домах нет кошек. Сколько всего кошек живет в домах этого села?

Задача 8.2.
а) Сколькими способами можно разложить 10 одинаковых кусков сахара по двум разным чашкам?
б) а по трём разным чашкам?

Задача 8.3. В магазине есть 5 разных чашек, 3 разных блюдца и 4 разных чайных ложки. Сколькими способами можно купить
а) чашку с блюдцем;
б) комплект из чашки, блюдца и ложки;
в) два предмета с разными названиями?

Задача 8.4. Отрезок длиной 26 см разделили на три не обязательно равных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 15 см. Найдите длину среднего отрезка.

Задача 8.5. Гоша задумал четыре неотрицательных числа и посчитал их всевозможные попарные суммы (всего 6 штук). Какие числа он задумал, если эти суммы — 1, 2, 3, 4, 5, 6? (Введите ответ в виде четырёх чисел через запятую, в порядке возрастания.)

Задача 8.6. Имеется 35 бревен — длинных и коротких. Длинные бревна распиливают на 5 частей, а короткие — на 4 части. На все короткие бревна потребовалось столько же распилов, сколько на все длинные бревна. Сколько распилов было сделано?

«Письменные» задачи

Задача 8.7. На рисунке справа вы видите восьмиугольник-«лесенку». Сложите из нескольких таких «лесенок» восьмиугольник той же формы, но большего размера.

Задача 8.8. Математик гуляет во дворе со своей собакой, несколько раз обходя дорожку. Дорожка имеет вид прямоугольника со сторонами 50 м и 30 м. Собаку он держит на поводке длиной 10 м. Нарисуйте на клетчатом листе участок двора, по которому сможет гулять собака, не обрывая поводка. (Собака может гулять и внутри, и снаружи дорожки. Сторону клетки возьмите за 5 м.)

Задача 8.9. В деревне несколько домов. Житель деревни заметил интересное свойство: какие бы три дома ни выбрать, расстояние хотя бы между какими-то двумя из них равно 100 м. Нарисуйте пример расположения домов в деревне, если всего их
а) 5;
б) 6;
в) 7. (Дома изображайте точками,
вместо 100 м расстояние возьмите равным, например, 1 см.)

Задача 8.10. На рисунке справа вы видите два прямоугольных листка календаря. Один листок закрывает часть предыдущего. Что больше (по площади): открытая часть предыдущего листка или закрытая?

«Устные» задачи

Задача 8.11. Прямоугольник ABCD разбит двумя прямыми, пересекающимися в точке X, на 4 прямоугольника (см. рис.).
а) Докажите, что если X лежит на диагонали AC, то площади закрашенных прямоугольников равны.
б) Пусть площади закрашенных прямоугольников равны. Обязательно ли тогда X лежит на диагонали AC?

Задача 8.12.
а) Какое наибольшее количество трёхзначных чисел можно написать на доске так, чтобы любые два числа различались хотя бы в одной из двух последних цифр?
б) Даны целые числа, всего их 1001. Докажите, что разность каких-то двух из них делится на 1000.
в) Даны 10 чисел. Всегда ли удастся выбрать из них число, кратное 10, или несколько чисел, сумма которых кратна 10?

Задача 8.13. Десять хулиганов стояли все на разных расстояниях друг от друга. Каждый бросил мячик в ближайшего к себе.
а) Докажите, что какие-то два хулигана бросили мячики друг в друга.
б) Мог ли в каждого хулигана попасть ровно 1 мячик?
в) Ответьте на вопрос пункта б, если всего хулиганов было 11.

Задача 8.14.
а) Дано клетчатое кольцо из 100 клеток. Двое играют в такую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй – нолик. Не разрешается ставить знаки так, чтобы в соседних клетках оказались два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать (как бы ни играл его соперник)?
б) Та же задача, но в кольце 99 клеток.
в) Та же задача, но вместо кольца — полоска 1 × 99 клеток.

Занятие 7. # pdf19 октября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 7.1. Карлсон съедает банку варенья за 6 минут, Малыш — за полчаса, фрекен Бок — за 20 минут, а дядюшка Юлиус — за 12 минут. За какое время они съедят одну банку вместе?

Задача 7.2.
а) Сто хулиганов кидали друг в друга мячики. Каждый кинул в каждого 1 мячик. Сколько всего кинули мячиков?
б) Сто хулиганов пожали каждый каждому руку. Сколько всего было рукопожатий?

Задача 7.3. У Пети и Васи есть яблоки. Берёт яблоко Петя, потом Вася, и они одновременно начинают есть с одинаковой скоростью. Доевший своё яблоко, берёт следующее; каждый хочет съесть как можно больше.
Пусть имеется 4 яблока: 200 г, 300 г, 400 г и 450 г. Яблоко с каким весом надо взять Пете вначале и сколько грамм яблок Петя съест в итоге? (Укажите два числа подряд (вес в граммах), через запятую.)

Задача 7.4. Найдите площади фигур на рисунках, если площадь каждой клетки равна 1. (В пункте а введите три числа подряд, через запятую.)

Задача 7.5. Любую перестановку букв слова называют его анаграммой. Само слово мы тоже считаем его анаграммой. Сколько анаграмм у слов:
а) ОНО;
б) ЛЮДИ;
в) ОКОЛО;
г) НИСЕЛЬАП?
д) Среди анаграмм слова НИСЕЛЬАП найдите название фрукта;
е) а ещё найдите среди них породу собаки.

«Письменные» задачи

Задача 7.6.
а) От прямоугольника отрезали угол, соединив середины двух его соседних сторон. Какую часть прямоугольника отрезали (по площади)? Попробуйте объяснить ответ с помощью рисунка.
б) По углам квадратного поля растут 4 дерева. Нарисуйте, как расширить поле, не срубая деревьев, чтобы площадь увеличилась в 2 раза, а форма осталась квадратной? (Деревья не должны быть внутри поля.)

Задача 7.7. Нарисуйте на листе в клетку квадрат, вершины которого лежат в вершинах клеток, стороны идут не по сторонам клеток, а его площадь —
а) 2 клетки;
б) 5 клеток;
в) 10 клеток.

Задача 7.8. Ферзь бьет по вертикали, горизонтали и диагонали на любое число клеток (через фигуру не бьёт). Расставьте на шахматной доске несколько ферзей так, чтобы
а) каждый бил ровно двух других;
б) каждый бил ровно трёх других;
в) каждый бил ровно четырёх других.
г) Докажите, что нельзя расставить на шахматной доске несколько ферзей так, чтобы каждый бил ровно 5 других.

«Устные» задачи

Задача 7.9.
а) Оля и Поля играют в игру с ромашкой из 15 лепестков: за ход отрывается один лепесток или два выросших рядом лепестка. Ходят по очереди, начинает Оля. Проигрывает тот, у кого нет хода. Кто может обеспечить себе победу?
б) Та же игра, но лепестков 16.

Задача 7.10. В ряд стоят 10 мудрецов.
а) Сколькими способами на них можно надеть 8 одинаковых белых шапок и 2 одинаковых чёрных шапки?
б) А если чёрные шапки нельзя надевать на стоящих рядом?
в) А если в пункте а всего 7 белых шапок и 3 чёрных?

Задача 7.11.
а) У рыцаря есть цепь из 7 звеньев. Он должен каждый день оплачивать проживание, стоимость проживания — одно звено за день. Платить вперёд нельзя, но можно получать сдачу уже выданными кусками. Какое звено надо разъединить, чтобы получившимися кусками (включая разъединённое звено) рыцарь смог в итоге оплатить семидневное проживание?
б) А какие два звена надо разъединить у цепи из 23 звеньев, чтобы оплатить в итоге 23 дня?

Задача 7.12. На шахматной доске стоят несколько ладей. Докажите, что найдется ладья, которая бьет не более двух других. (Ладья бьет по вертикали и горизонтали.)

Занятие 6. # pdf12 октября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 6.1. Умный продавец получил конверты для продажи в пачках по 100 штук. Он отсчитывает 10 конвертов за 5 секунд. Продавцу понадобилось быстро отсчитать 70 конвертов из целой пачки. За сколько секунд он это сделает?

Задача 6.2. В шкатулке лежат бусины: 10 белых, 70 синих и 90 зелёных. Какое наименьшее число бусин надо вынуть, не глядя, чтобы наверняка достать
а) 2 бусины разных цветов;
б) 2 бусины одного цвета;
в) 3 бусины разных цветов?

Задача 6.3. Том Сойер красит забор — подряд, начиная с первой доски. Каждую доску Том красит целиком в один из трёх цветов: белый, синий или красный. Сколькими способами он может окрасить первые
а) 2 доски;
б) 3 доски;
в) Сколькими способами он мог бы окрасить первые 4 доски, чтобы соседние были разного цвета?
г) Сколькими способами он мог бы окрасить первые 4 доски, чтобы хоть одна доска была синей?

Задача 6.4. Если бы Коля купил три тетради, то у него осталось бы 110 рублей, а если бы он захотел купить 9 таких же тетрадей, то ему не хватило бы 70 рублей. Сколько денег было у Коли?

Задача 6.5. Колонна грузовиков, едущих с одной и той же скоростью, растянулась на полкилометра. Первый грузовик подъехал к двухкилометровому тоннелю в 9:30, а в 9:34 туннель покинул последний грузовик. За сколько секунд эта колонна проехала мимо постового, охранявшего вход в тоннель?

«Письменные» задачи

Задача 6.6. Перед вами четыре фигуры. Разрежьте каждую из них на две одинаковые части (равные и по форме, и по площади).

Задача 6.7. На рисунке справа (под зелёными фигурами) нарисована «лесенка».
а) Разрежьте её на две части и сложите из них прямоугольник.
б) Разрежьте её на три части и сложите из них квадрат.

Задача 6.8. Нарисуйте в тетради белый клетчатый квадрат из 16 клеток. Закрасьте в нём 7 клеток так, чтобы нельзя было вычеркнуть все закрашенные клетки, зачеркнув два столбца и две строки.

Задача 6.9. Из прямоугольника 10 × 7 клеток вырезали прямоугольник 1 × 6 клеток, как показано на рисунке справа. Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

«Устные» задачи

Задача 6.10.
а) В левом нижнем углу доски 8 × 8 стоит фишка. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход фишку передвигают на любое число полей либо вверх, либо вправо. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто может обеспечить себе победу?
б) А если тот, кто поставил фишку в правый верхний угол, считается проигравшим?

Задача 6.11.
а) Участок имеет вид квадрата 11 × 11, разделённого на «клетки» 1 × 1. Сколькими способами можно выбрать на этом участке клетчатый квадрат 3 × 3 для постройки там дома?
б) А если при этом девять клеток в центре участка занимает пруд (размером 3 × 3)?

Задача 6.12. Имеется 100 камешков, любые два камешка отличаются по весу не больше, чем на 10 г. Докажите, что эти камешки можно разложить на две кучи так, чтобы в каждой куче было по 50 камешков, и чтобы вес первой кучи отличался от веса второй кучи тоже не больше, чем на 10 г.

Задача 6.13. Прямая дорожка из дома в сад полностью покрыта прямоугольными соломенными циновками, их ширина равна ширине дорожки. Некоторые дорожки перекрываются.
а) Докажите, что можно при необходимости убрать несколько циновок так, чтобы любой участок дорожки был покрыт, но не более чем двумя циновками;
б) Докажите, что можно при необходимости убрать несколько циновок так, чтобы оставшиеся не перекрывались и покрывали не меньше чем половину дорожки.

Занятие 5. # pdf5 октября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 5.1. У троих братьев оказалось вместе 24 печенья. Младший съел на 2 печенья меньше, а старший — на два печенья больше, чем средний. Сколько печений съел каждый из братьев?
(Дайте ответ в виде трёх чисел в порядке возрастания, подряд, без пробелов.)

Задача 5.2. Справа нарисованы города и дороги. Сколькими способами можно проехать (двигаясь только вправо)
а) из A в C через B;
б) из A в C через B или D?

Задача 5.3.
а) Сколько можно написать разных пар из двух цифр, если на первом месте можно написать любую нечётную цифру, а на втором месте — вообще любую цифру от 0 до 9?
б) Сколько можно написать троек цифр, если на каждом из трёх мест можно написать любую чётную цифру?
в) Сколько троек получится в предыдущем пункте, если в каждой тройке цифры должны быть разные?
(Если цифры в паре (или тройке) записаны в разном порядке, то это разные пары (разные тройки).)

Задача 5.4.
а) Бревно распилили на 10 чурбаков. Каждый распил занял 2 минуты. Сколько времени ушло на эту работу?
б) Несколько брёвен распилили на 200 чурбаков, сделав 21 распил. Сколько было брёвен?

Задача 5.5. Будем считать пальцы на руке: 1-м будет большой, 2-м — указательный, 3-м — средний, 4-м — безымянный, 5-м — мизинец, 6-м — снова безымянный, 7-м — средний, 8-м — указательный, 9-м — большой, 10-м — указательный, и т. д. Какой палец будет 2020-м?

«Письменные» задачи

Задача 5.6. Во дворе, окружённом забором с 3 калитками, стоят 3 домика (см. рисунок.). На домиках и калитках написаны номера. Проведите от каждого домика дорожку к калитке с тем же номером так, чтобы дорожки не пересекались.

Задача 5.7.
а) Нарисуйте замкнутую трёхзвенную ломаную, проходящую через все 4 точки на рисунке а).
б) Нарисуйте любую четырёхзвенную ломаную, проходящую через все 9 точек на рисунке б).

Задача 5.8. В круге отметили точку (см. рисунок).
а) Разрежьте круг не более чем на 3 части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре круга.
б) Можно ли это сделать, разрезав круг не более чем на 2 части?

«Устные» задачи

Задача 5.9.
а) В строчку написаны 10 минусов: - - - - - - - - - -.
Петя и Вася по очереди переправляют один или два написанных рядом минуса на плюсы, начинает Петя. Выигрывает тот, кто переправил последний минус. Кто может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник?
б) А если в строке 11 минусов: - - - - - - - - - - - ?

Задача 5.10.
а) Сколько всего семизначных чисел?
б) А сколько из них не содержат ни нуля, ни пятёрки?
в) А сколько есть семизначных чисел, в каждом из которых есть хотя бы одна семёрка?

Задача 5.11. В двух стопках лежат 10 томов собрания сочинений Пушкина. Библиотекарь подходит к любой стопке, снимает сверху несколько книг и кладёт на другую стопку. Как ему не больше чем за 19 таких операций расположить все тома в одной стопке по порядку номеров (снизу 1-й, затем 2-й и т.д.)?

Задача 5.12. В колонию из 100 чёрных бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду каждая белая бактерия уничтожает одну чёрную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое. Докажите, что когда-нибудь все чёрные бактерии будут уничтожены, и выясните, в какой момент это произойдёт.

Занятие 4. # pdf28 сентября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 4.1. Клетки доски 17 × 9 покрасили в шахматном порядке в белый и чёрный цвета так, что один из углов — белый. Сколько на этой доске белых клеток?

Задача 4.2. Хулиган Петя схватил барабан и начал ударять по нему колотушкой каждые 2 секунды. Одновременно с ним хулиган Вася начал ударять молотком по рельсу каждые 3 секунды. Сосед Иван Петрович вздрагивал каждый раз, когда слышал удар или два одновременных удара. Сколько раз успел вздрогнуть Иван Петрович, если на 20-й секунде ребятам надоела музыка и они побежали играть в футбол?

Задача 4.3. В круг стоят 11 человек, все разного роста. Те, кто выше обоих своих соседей и те, кто ниже обоих своих соседей, подняли руку. Могло ли поднятых рук оказаться ровно
а) 11;
б) 10;
в) 1;
г) 2? (Введите сразу все ответы подряд, без пробелов, через запятую, например: да,да,да,да.)

Задача 4.4. Сейчас Серёже 11 лет, а Вове 1 год. Сколько лет будет Серёже, когда Серёжа станет втрое старше Вовы?

Задача 4.5. Какая цифра встречается реже всего при записи первых ста натуральных чисел, а какая — чаще всего? (Дайте ответ в виде двух цифр подряд, через запятую.)

Задача 4.6. Брат вышел из дома на 5 минут позже сестры, зато шел в полтора раза быстрее. Через какое время он ее догонит?

«Письменные» задачи

Задача 4.7. На рисунке вы видите четырёхугольник, который разрезан по прямой на 3 треугольника. Нарисуйте разрезанный по прямой на 3 треугольника
а) шестиугольник;
б) семиугольник.

Задача 4.8. Придумайте такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно
а) в 2 раза;
б) в 10 раз.

Задача 4.9.
а) На рисунке изображена доска из 13 клеток. Уместите на ней «по клеточкам» наибольшее количество неперекрывающихся доминошек 1 × 2 (нарисуйте пример).
б) Объясните, почему большее число доминошек уместить «по клеточкам» нельзя.
в) Покройте всю доску «по клеточкам» наименьшим количеством доминошек, если доминошки могут перекрываться, но не вылезают за пределы доски (нарисуйте пример).
г) Почему меньшим числом доминошек покрыть доску «по клеточкам» нельзя?

Задача 4.10. Планета имеет форму баранки (см. рисунок). Отметьте на этой планете три города, три космодрома и соедините каждый город с каждым космодромом дорогой так, чтобы никакие две дороги не пересекались.

«Устные» задачи

Задача 4.11. На доске написаны два десятизначных числа. Известно, что из обоих чисел можно вычеркнуть по одной цифре так, чтобы получились одинаковые числа. Докажите, что в исходные числа можно вписать по одной цифре так, чтобы тоже получились одинаковые числа.

Задача 4.12.
а) Малыш и Карлсон по очереди кладут монетки в 5 эре (их есть большой запас) на пустой круглый стол так, чтобы те не падали со стола и не накладывались друг на друга. Начинает Малыш. Кому некуда ходить, тот проиграл. Как Малышу всегда выигрывать?
б) Карлсон рассердился и сделал в центре стола круглую дырку, по размерам чуть больше монетки. Как теперь может играть Карлсон, чтобы всегда выигрывать?

Задача 4.13.
а) Петя записал на доске два числа: 1/2 и 1/3. Вася за ход называет любое число, а Петя увеличивает ровно одно из чисел на доске (какое захочет) на число, названное Васей. Может ли Вася делать ходы так, чтобы обязательно в какой-то момент хоть одно из двух чисел на доске превратилось в 1?
б) Та же задача, но на доске написаны три числа: 1/2, 1/3 и 1/5, и надо хоть одно превратить в 1.

Задача 4.14. Штаб состоит из нескольких абсолютно одинаковых на вид комнат, соединённых коридорами по кругу. В каждой комнате есть одна лампа. Шпион проник в одну из комнат. Как ему узнать, сколько комнат в штабе, если он может ходить по комнатам и включать и выключать лампы? (Изначально какие-то лампы могли гореть, а какие-то — нет; в здании никого нет, так что пока шпион ходит по комнатам, лампы никто другой не переключает.)

Занятие 3. # pdf21 сентября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 3.1. Сколько раз к наибольшему однозначному числу нужно прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трёхзначное число?

Задача 3.2. Почтальон вынимает бумажные письма из почтового ящика 5 раз в день. Первый раз он подходит к ящику в 7 часов утра, а последний — в 7 часов вечера, причем через равные интервалы времени. Через какие? (Укажите ответ в часах.)

Задача 3.3. Алёша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумал Алёша?

Задача 3.4. Дан ряд фигурок:  В первой — одна клетка. Сколько клеток
а) в пятой фигурке;
б) в десятой фигурке;
в) в первых пяти фигурках вместе;
г) в первых десяти фигурках вместе?

Задача 3.5. На столе лежат 3 монеты орлом вверх. Витя переворачивает несколько раз эти монеты (по одной) в любом порядке, говоря при каждом переворачивании «Хоп!» (можно переворачивать одну и ту же монету несколько раз), после чего накрывает одну из монет рукой. Как лежит монета, накрытая Витей, если
а) он сказал «Хоп!» 2 раза, и две открытые монеты — это орёл и решка;
б) он сказал «Хоп!» 5 раз, и две открытые монеты — это две решки;
в) он сказал «Хоп!» 179 раз, и две открытые монеты — это два орла.
Введите сразу все три ответа подряд, без пробелов, через запятую, например: о,р,о.

Задача 3.6.
а) К каждой из шести граней кубика 1 × 1 × 1 приклеили по такому же кубику, получился «ёж» из семи кубиков. Из скольких квадратиков 1 × 1 состоит поверхность «ежа»?
б) К каждому квадратику 1 × 1 на поверхности «ежа» из предыдущего пункта приклеили ещё раз по кубику 1 × 1 × 1 (при этом некоторые кубики закрыли два квадратика), получился «супер-ёж». Из скольких квадратиков 1 × 1 состоит его поверхность?
в) Из скольких кубиков состоит «супер-ёж»?

«Письменные» задачи

Задача 3.7. Разделите фигуру (слева) на 6 частей, проведя две прямые.

Задача 3.8. Разрежьте фигуру (справа) на 4 равные части. Резать можно и не «по клеточкам». Части должны быть равны и по форме, и по площади.

Задача 3.9. Нарисуйте замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекает ровно одно другое её звено, и в которой всего а) 6 звеньев; б) 8 звеньев.

«Устные» задачи

Задача 3.10. В коридоре в ряд идут 10 дверей. За одной из дверей — приз. На каждой двери висит табличка «Приз находится за соседней дверью». Известно, что на всех табличках, кроме одной, написана ложь. Как открыть ровно одну дверь, чтобы после этого точно узнать, где приз?

Задача 3.11. В куче лежат
а) 4;
б) 8;
в) 9;
г) 100 спичек. Петя и Вася по очереди забирают из кучи либо 1, либо 2, либо 3 спички, начинает Петя. Выиграет тот, кто возьмёт последнюю спичку. Выясните в каждом из пунктов, кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Задача 3.12. Из нескольких кубиков 1 × 1 × 1 склеили фигуру без полостей и дырок. Кубики примыкают друг к другу целиком по грани. Может ли поверхность такой фигуры состоять из 179 квадратиков 1 × 1?

Задача 3.13. Вдоль фасада дворца расположены в ряд 20 комнат, в каждой комнате одно окно. Каждый день принц переселяется в одну из соседних комнат. Каждую ночь ко дворцу подлетает фея и заглядывает в одно из окон. Может ли фея за несколько дней гарантированно увидеть принца?

Занятие 2. # pdf14 сентября 2020 г.

«Тест»-задачи

Задача 2.1. Петя проснулся в прошлый понедельник ровно в 8 утра. Каждый следующий день он просыпался либо на 1 минуту позже, либо на 1 минуту раньше, чем вчера. Мог ли Петя проснуться в этот понедельник
а) ровно в 8:05;
б) ровно в 8:06;
в) ровно в 8:04;
г) ровно в 8:03?
Ответ введите в формате: да,да,да,нет (сразу все четыре ответа, подряд, без пробелов, через запятую).

Задача 2.2. Дан кубик 3 × 3 × 3. К каждому центральному квадратику 1 × 1 каждой его грани приклеили по кубику 1 × 1 × 1. Из скольких квадратиков 1 × 1 состоит поверхность получившейся фигуры?

Задача 2.3. Гарри Поттер случайно коснулся лежащей в пустом сундуке одинокой монеты, на которую было наложено заклинание удвоения. Сразу после этого каждую секунду каждая монета превращается в две такие же монеты. Размножающиеся монеты заполнили сундук за 15 секунд. За сколько секунд монеты заполнили бы сундук, если бы изначально их там было две, и Гарри одновременно коснулся бы обеих?

Задача 2.4. Петя сложил все числа от 1 до 1000, кончающиеся на 3, а Вася — все числа от 1 до 1000, кончающиеся на 4.
а) У кого получилось больше?
б) На сколько?

Задача 2.5. Улитка и муравей ползли кросс на 20 м. Когда муравей достиг финиша, улитке надо было проползти ещё 18 м. На сколько метров надо отодвинуть назад старт для муравья, чтобы при следующей попытке муравей и улитка финишировали одновременно?

Задача 2.6. На сколько частей делят поверхность глобуса
а) 10 параллелей;
б) 11 меридианов;
в) 10 параллелей и 11 меридианов вместе.
(Параллель — это окружность, параллельная экватору (экватор — тоже параллель).
Меридиан — это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным.)

«Письменные»-задачи

Задача 2.7. В квадрате 4 × 4 нарисовали 10 фишек, как на рисунке. Разрежьте его на четыре одинаковые части так, чтобы они содержали соответственно 1, 2, 3 и 4 фишки.

Задача 2.8. Несколько мальчиков и девочек встали по кругу (и те, и другие присутствуют). Оказалось, что у каждого либо оба соседа девочки, либо оба соседа мальчики. Всего в кругу 7 мальчиков. А сколько девочек? Не забудьте объяснить ответ.

Задача 2.9. Разрежьте 1-й треугольник на 2 части и сложите из них 2-й (см. рис.).

Задача 2.10. Найдутся ли три целых числа, которые друг на друга не делятся, но произведение любых двух делится на третье?

«Устные»-задачи

Задача 2.11. В куче лежат
а) 9;
б) 10;
в) 11;
г) 100 спичек. Петя и Вася по очереди забирают из кучи либо одну, либо две спички, начинает Петя. Выиграет тот, кто возьмёт последнюю спичку. Выясните в каждом из пунктов, кто может обеспечить себе победу?

Задача 2.12. На столе лежат 2 монеты орлом вверх. Петя закрывает глаза, а Витя переворачивает несколько раз эти монеты (по одной), говоря при каждом переворачивании «Хоп!» (можно переворачивать одну и ту же монету несколько раз). После этого Витя накрывает одну из монет рукой, а Петя открывает глаза и, взглянув на стол, отгадывает, как лежит накрытая Витей монета — орлом вверх или орлом вниз. Как Петя это делает?

Задача 2.13. На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если точка P попала на эту прямую, он отвечает, что P лежит на прямой). Можно ли, задав всего три вопроса, узнать, лежит ли точка P в квадрате, или она вне его?

Задача 2.14.
а) Шеф секретной службы составил инструкцию взаимной слежки для 7-ми своих агентов: агент 001 следит за тем, кто следит за агентом 002, агент 002 — за тем, кто следит за агентом 003, и т.д.; агент 007 следит за тем, кто следит за агентом 001. Удастся ли её выполнить?
б) Можно ли выполнить подобную инструкцию для 8 агентов?

Занятие 1. # pdf7 сентября 2020 г.

Задача 1.1. Вычислите: 12 + 13 + 16.

Задача 1.2. Антон взвешивал на весах свои игрушки. Машину уравновесили мяч и два кубика, а машину с кубиком — два мяча. Сколько кубиков уравновешивают машину? (Кубики весят одинаково, мячи тоже.)

Задача 1.3. Егор сложил в одну коробку болты, в другую — винты, а в третью — гайки, и подписал, где что лежит. Только он все надписи перепутал — ни одна не соответствует содержимому. Он открыл коробку с надписью «болты» и увидел, что там винты. Что лежит в коробке с надписью «гайки»?

Задача 1.4. Автобусы ездят по круговому маршруту в одну и ту же сторону с равными интервалами. Когда автобусов было три, интервал равнялся 12 минутам. Каким станет интервал, если автобусов будет четыре? (Скорость автобусов всегда одна и та же.)

Задача 1.5. В числе 3141592653589793 надо зачеркнуть 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число. Введите, какое число получится. (Например, если зачеркнуть 1-ю, 3-ю, 5-ю, 7-ю, 9-ю, 10ю и 11-ю цифры, останется 119689793.)

Задача 1.6. Требуется несколько раз выстрелить по мишени (см. рисунок), выбив в сумме 100 очков. Укажите числа, которые надо выбить (в порядке возрастания, через запятую).

Задача 1.7. Куб 3 × 3 × 3 склеен из 27 кубиков 1 × 1 × 1. Каждые два соседних кубика приклеены друг к другу одной каплей клея. Сколько всего капель для этого потребовалось?

Задача 1.8. Расставьте фишки на клетках доски 8 на 8 (в каждой клетке — не более одной фишки) так, чтобы на любых двух вертикалях фишек было поровну, а на любых двух горизонталях — не поровну. Ответьте на вопросы:
а) сколько фишек стоит на каждой вертикали?
б) для какого числа от 0 до 8 не найдётся строки на вашем рисунке, в котором стоит ровно столько фишек?

Задача 1.9.
а) Что больше: 333  333  333 ·  666  666  665 или 222  222  222 ·  999  999  999?
б) На сколько различаются числа в предыдущем пункте?

Задача 1.10. В лабиринте размером 8 на 8 клеток (см. рисунок) надо сломать одну из красных перегородок между клетками так, чтобы длина кратчайшего пути по клеткам от выхода A к выходу B оказалась как можно меньше. Ответьте на вопросы.
а) Какую перегородку надо сломать — горизонтальную или вертикальную?
б) Если горизонтальную — укажите номер столбца (считая слева), в котором она находится, если вертикальную — укажите номер строки, в которой она находится (считая снизу).
в) Сколько клеток будет в кратчайшем пути?